-- Woche vom 8.6. --

Liebe Schüler,
tendentiell werden wir in Klasse 13 nochmal auf die Kurvendiskussionen und die Integralrechnung zurückblicken - vor allem für die Schüler, die in Mathe ins mündliche Abi müssen/wollen. Um das Thema "Differentialrechnung (Kurvendiskussion)" abzuschließen, brauchen wir noch einen Blick auf das Grenzwertverhalten. Das hatten wir bei normalen Funktionen ja schon gemacht, aber es fehlten hierbei noch die e-Funktionen.

Aufgabe 1: Schaut das folgende Video und füllt die folgende Tabelle aus. Einige der Aufgaben werden sogar direkt im Video behandelt. ;)

Da wir jetzt das Grenzwertverhalten für komplexere e-Funktionen beherrschen, sollten wir nochmal eine kleine Kurvendiskussion (hier ohne Wendepunkte) durchführen.

Aufgabe 2: Gegeben ist folgende Funktion: f(x) = (x² - 2x) ⋅ e^x
- Bestimme die Schnittpunkte der Funktion mit den Koordinatenachsen
- Untersuche das Verhalten der Funktion für x→∞ und für x→-∞
- Untersuche die Funktion auf Extrempunkte
- Skizziere anhand obiger Ergebnisse den Funktionsgraphen.

Dann gibt es noch ein größeres Thema - die Integralrechnung. Wir werden die ganze Herleitung ignorieren und merken uns am Ende nur, wozu Integrale da sind (zur Berechnung der Fläche unter einem Graphen) und wie man sie berechnet. Trotzdem sollte man wenigstens auch mal ganz kurz die Herleitung gesehen haben.

Aufgabe 3: Schaut das folgende Video an. Du erfährst hier, was die Integralrechnung ist und wozu man sie braucht. Anschließend solltest du wissen
- was eine Stammfunktion ist. Damit solltest du die Tabelle auf dem Arbeitsblatt ausfüllen können.
- wie die Schreibweise von Integralen aussieht und was die Bestandteile der Schreibweise bedeuten
- wie man Integrale berechnet. Damit solltest du die drei Integrale auf dem Arbeitsblatt berechnen können.

An einem passenden Video zur Flächenberechnung und Integralen arbeite ich noch. Das können wir dann aber auch übernächste Woche im Unterricht durchgehen. 

---

-- Woche vom 25.5. --

Liebe Schüler,
Wir haben jetzt die e-Funktion kennengelernt und mit der Kettenregel jetzt die Ableitungsregeln abgeschlossen. Jetzt kombinieren wir den Stoff von vorher (Kurvendiskussion) mit der e-Funktion.

Aufgabe 1:
Die e-Funktion ist nichts anderes wie eine normale Exponentialfunktion, wie du sie in Klasse 10 kennengelernt hast. Nur ist die Basis jetzt eben e = 2,71... 
Du solltest den Verlauf solch einer Exponentialfunktion und der e-Funktion im besonderen kennen. Du kannst ihn dir z.B. mit Geogebra nochmal anzeigen lassen.
Beantworte anhand des Graphen folgende Fragen (nicht rechnen - nur anschauen).
- Wie verläuft der Graph (limes gegen plus/minus unendlich)?
- Wo schneidet der Graph die Achsen?
- Gibt es ein Extremum (Hoch-/Tiefpunkt)?
- Gibt es einen Wendepunkt?

Aufgabe 2:
In der vorletzten Woche hast du nochmal den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wiederholt. Um 2^x=8 zu berechnen, brauchst du im Taschenrechner den Logarithmus zur Basis 2. (x=log₂(8)).
Um beispielsweise e^x=5 zu berechnen, bräuchtest du jetzt den Logarithmus zur Basis e. Und dieser Logarithmus hat eine eigene Taste "ln" auf dem Taschenrechner.

Notiere dir die folgende Definition ins Heft.

Definition:
Die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist der Logarithmus zur Basis e. Er wird "Logarithmus naturalis" oder "natürlicher Logarithmus" genannt und hat die Tastenbezeichnung "ln" auf dem Taschenrechner.

Berechne die Lösung für 
a) e^x = 10
b) e^x = 1
c) e^x = 2,71

Aufgabe 3:
Schauen wir uns jetzt eine recht einfach e-Funktion für eine Kurvendiskussion an: f(x) = x e^x.
Führe eine Kurvendiskussion durch, indem du die folgenden Punkte abarbeitest.
- Ableitungen bestimmen (Achtung Produktregel. Anschließend solltest du jeweils e^x ausklammern)
- Nullstellen bestimmen
- Extrema bestimmen
- Wendepunkte bestimmen
Kontrolliere anschließend deine Lösung mit Hilfe von Geogebra. Du musst dabei die Funktion: x * exp(x) eingeben.
  

---

-- Woche vom 11.5. --

Liebe Schüler,
vor den Osterferien haben wir ja schon diverse Kurvendiskussionen durchgeführt. Dabei handelte es sich aber ausschließlich um ganzrationale Funktionen, also z.B. ax³ + bx² + cx + d mit verschiedenen Werten für a, b, c und d. Aber nicht alle Vorgänge, die wir in unserer Umwelt beobachten, lassen sich mit solchen Vorgängen modellieren. Zum Teil gibt es - wie wir jetzt in der Corona-Krise gesehen haben, auch ein exponentielles Wachstum.

Aufgabe 1:
Weißt du noch, wie sich exponentielles Wachstum vom linearen Wachstum unterscheidet? Nein? Dann lies dir das Schlaue Blatt durch.

Aufgabe 2:
Schaue dir den folgenden Film zur Wiederholung an. Du solltest danach wissen, wie die Funktionsgleichung einer exponentiellen Funktion aussieht und was die einzelnen Bestandteile der Funktionsgleichung bedeuten. Außerdem solltest du wieder wissen, wie man aus zwei gegebenen Punkten eine Exponentialfunktion aufstellt.

Aufgabe 3: Beispielaufgabe
Eine Exponentialfunktion geht durch die Punkte P (2|16) und Q (5|128). Bestimme die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion.

Aufgabe 3: Anwendungsaufgabe
Die Corona-Fälle in den USA zeigten zu Beginn ein exponentielles Wachstum. Im folgenden Bild siehst du die bestätigten Fälle 2 Wochen nach Messungsbeginn (19273 Fälle am 20. März) und 4 Wochen nach Messungsbeginn (275367 Fälle am 3. April).
a) Modelliere aufgrund dieser beiden Punkte eine Exponentialfunktion wie in Aufgabe 2. Wie groß ist der Wachstumdfaktor, der die Vervielfachung der Fälle pro Woche darstellt?
b) Wie viele Fälle müssten es nach deiner Funktion zu Beginn, also nach 0 Wochen (6. März) gewesen sein?
c) Hätte man keine Ausgangsbeschränkungen oder Masken eingeführt und das exponentielle Wachstum hätte angedautert, wie viele Fälle hätte man nach deinem Modell dann am Ende der 8. Woche (1. Mai)? In Wirklichkeit waren es an dem Tag übrigens 1.103.461 Fälle. Was bedeutet das für dein mathematisches Modell?
d*) Nach wie vielen Wochen hätte man deinem Modell nach mit 1.000.000 Fällen rechnen müssen? Tipp: Hier musst du eine Exponentialgleichung lösen. Der Logarithmus lässt grüßen. Wenn du erst die Aufgabe 4 machst, solltest du aber die Sternchen-Aufgabe hier auch können.

-- Woche vom 27.4. --

Liebe Schüler,
ich weiß nicht wie sehr ihr euch durch die Dinge durchgearbeitet habt. Wir sehen uns dann ja bald wieder in der Schule. Ich werde dann nicht viel Zeit mit Wiederholung verbringen.
Ihr solltet Kurvendiskussionen und Ableitungsregeln soweit verstanden haben. Nutzt daher in dieser Woche nochmal die Zeit die Sachen durch- und aufzuarbeiten.

Ansonsten hier noch ein paar Aufgaben zur Produktregel.
Die Ergebnisse bitte bis zum 1.5. per Mail an mich: muellers @ burg - kl . de

Aufgabe 1:

-- Woche vom 20.4. --

HIER die Lösungen der Kurvendiskussionen von unten.

Liebe Schüler,
ich hoffe ihr habt ein wenig die Osterferien geniessen können. Hat sich wahrscheinlich nicht viel anders angefühlt als die Zeit vorher - außer, dass es keine Arbeitsaufträge gab. Diese gibt es jetzt aber wieder.

Wir haben im gesamten Schuljahr schon viel gelernt. Wir haben uns Graphen angeschaut und festgestellt, dass wir die Steigung an jeder Stelle mit Hilfe der Ableitung einfach berechnen können. Darauf aufbauend haben wir besondere Stellen am Graph gesucht (Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte) und konnten mit nur wenigen Angaben uns am Ende den Verlauf des Graphen gut vorstellen oder ihn zeichnen.

Das hat für unsere bisherigen Funktionen prima funktioniert. Jetzt kann es aber sein, dass unsere Funktionen komplizerter werden und unsere bisherigen Regeln zur Berechnung der Ableitung nicht mehr ausreichen. Deshalb schauen wir uns in dieser Woche zwei neue Regeln an: Die Produkt- und die Quotientenregel.

Ziel dieser Woche: Versuche die Produkt- und Quotientenregel zu verstehen. Des weiteren solltest du die Ableitungen von Sin(x) und cos(x) kennen. 

Aufgabe: 
Hier bzw. auf meiner Seiter gibt es ein Video, dass euch alle Regeln, auch die bisherigen, nochmal erklärt. Schaue dir das Video an und notiere dir die neuen Regeln (Sin, cos, Produktregel, Quotientenregel) ins Heft. 

Aufgabe: 
Hier findest du ein Arbeitsblatt mit Beispielen und Aufgaben zum Lösen. 

Sollte jemand Feedback zu seinen Aufgaben haben wollen, so kann er mir die Lösungen gerne mailen (aber bitte nicht mit 5MB Foto im Anhang. Fotoauflösung reduzieren oder eine PDF-Datei draus machen hilft. Sonst ist der Speicherplatz für die Mails erschöpft). 

In der nächsten Woche würde ich alle Ableitungsregeln nochmal üben wollen. D.h. ich werde nochmal ein Blatt mit vielen Funktionen zum Ableiten bereitstellen.

---

-- vor den Osterferien --

Liebe Schüler,
hier die Unterrichtsmaterialien für die nächsten Wochen. Die Materialien können in den nächsten Tagen/Wochen ergänzt werden. Daher öfter mal wieder reinschauen.
Ergänzt am 17.03.2020: Die Aufgaben wurden um Aufgaben zur Kurvendiskussion ergänzt. Das sollte dann als Material bis annähernd zu den Osterferien reichen. 

1. Polynomdivision
Die Nullstellen einer Funktion sind bei einer Kurvendiskussion wichtig, auch bei der Suche nach Extrema oder Wendepunkten werden die Nullstellen benötigt (Notwendiges Kriterium).
Handelt es sich bei einer Funktion um eine quadratische Funktion (also vom Grad 2), so finden wir die Lösungen mittels PQ- oder ABC-Formel. Bei Funktionen mit höherem Grad funktioniert das nicht.

Aufgabe 1:
Schaue dir zur Wiederholung das Video zur Polynomdivision an.  

Aufgabe 2:
Führe eine Polynomdivision durch. Die Lösung ist weiß auf weiß geschrieben und wird durch Markieren sichtbar. 
a) (x³-3x²-4x+12):(x-2) =                               
Lösung:
(x³-3x²-4x+12):(x-2)=x²-1x-6           
-(x³-2x²)           
    -1x²-4x       
    -(-1x²+2x)       
        -6x+12   
        -(-6x+12)   
            0
b) (x³+5x²-2x-24):(x-2)=                                 
Lösung:
(x³+5x²-2x-24):(x-2)=x²+7x+12           
-(x³-2x²)           
       7x²-2x       
      -(7x²-14x)       
               12x-24   
              -(12x-24)   
                        0
c) (x³-1x²-10x-8):(x+1)=                                 
Lösung:
(x³-1x²-10x-8):(x+1)=x²-2x-8           
-(x³+1x²)           
        -2x²-10x       
       -(-2x²-2x)       
                  -8x-8   
                  -(-8x-8)   
                            0
d) Jetzt wird es etwas komplizierter. Beim Runterholen der Terme passiert hier etwas Neues.
(x³-1x²-16x+16):(x-1)= 
Lösung:
(x³-1x²-16x+16):(x-1)=x²-16            
-(x³-1x²)            
          0 -16x+16        
           -(-16x+16)        
                        0
Wenn zwischendurch eine Null rauskommt beim Abziehen müssen dann die nächsten BEIDEN Summanden heruntergeholt werden.
   
 e) Und noch eine etwas kompliziertere Aufgabe. Diesmal kommen nicht alle Potenzen in der Funktion vor. Da ist es sinnvoll eine Lücke für fehlende Potenzen zu lassen oder gar mit 0x² zu ergänzen.
(x³         -13x+12):(x+4) =
Lösung:
(x³        -13x+12):(x+4)=x²-4x+3           
-(x³+4x²)           
          -4x²-13x       
          -(-4x²-16x)       
                     3x+12   
                    -(3x+12)   
                             0
Bist du fit oder brauchst du noch Übungsmaterial? Mit Hilfe eines Excel-Klapptests kannst du dir noch neue Aufgaben und Lösungen erzeugen.

Beispielaufgabe:
Gegeben ist die Funktion f(x) = x³+2x²-1x-2. Ermittle die Nullstellen.
Noch ist keine Nullstelle gegeben. Man versucht es mal einfache Zahlen als Nullstelle zu raten: 1,2, -1, -2
f(1) = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 => x₁ = 1 ist eine Nullstelle.
D.h. (x-1) ist ein Linearfaktor. 
Führe eine entsprechende Polynomdivision durch
(x³+2x²-1x-2):(x-1)=x²+3x+2           
-(x³-1x²)           
        3x²-1x       
       -(3x²-3x)       
                2x-2   
               -(2x-2)   
                       0
Somit ist (x³+2x²-1x-2) = (x-1) (x²+3x+2)
Für den quadratischen Term hilft die PQ-Formel.
Es folgt: x₂ = -2 und x₃ = -1
D.h. die Nullstellen von f(x) sind 1, -2 und -1
und es ist (x³+2x²-1x-2) = (x-1) (x+2) (x+1)

2. Kurvendiskussion
Im Hinblick auf eine Kursarbeit wäre definitiv eine komplette Kurvendiskussion drangekommen. D.h. es macht Sinn nochmal alle behandelten Dinge zu wiederholen. Die nächste Kursarbeit kommt ja hoffentlich.

Eine Kurvendiskussion besteht aus:
- Ableitungen (Excel-Klapptest für weitere Aufgaben)
- Symmetrie (Excel-Klapptest für weitere Aufgaben)
- Verhalten gegen +/- unendlich (Excel-Klapptest für weitere Aufgaben)
- Schnittpunkte mit den Achsen (Excel-Klapptest für weitere Aufgabe)
   (hier kann es natürlich auch zu einer Polynomdivision kommen ;) )
- Extrema (Schlaues Blatt für notwendiges und hinreichendes Kriterium)
- Wendepunkte (Schlaues Blatt für notwendiges und hinreichendes Kriterium)

Geogebra:
Bei den folgenden Aufgaben kann es hilfreich sein, wenn du deine Ergebnisse kontrollieren kannst. Das geht super mit Geogebra. Das ist ein kostenloses Programm. Hier geht es zum Download.
Es gibt aber auch Geogebra Online.

Wie du mit Geogebra eine Kurvendiskussion durchführen kannst, erfährst du im folgenden Erklärvideo.
Noch zwei Tipps zur Bedienung:
- Potenzen wie x³ werden dabei als x^3 eingegeben. 
- Dezimalzahlen wie 2,5 werden mit Punkt als 2.5 geschrieben.

Aufgaben zur Kurvendiskussion:

Ein Beispiel für eine vollständige Kurvendiskussion gibt es hier als Video. 

Aufgabe 1:
Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch.
D.h. Symmetriebetrachtung, Verhalten im Unendlichen, Nullstellen, Extrempunkte* und Wendepunkte*.
a) f(x) = x³ - 3x²
b) f(x) = -x³ + 3x + 2     (Eine Nullstelle ist x=2)
c) f(x) = 0,5x³ - 3x² + 5x
d) f(x) = 4x³ + 5x² - 6x
e) f(x) = x⁴ - 4x³ + 4x²
* Wenn das hinreichende Kriterium nicht erfüllt ist, muss man einen Vorzeichenwechsel untersuchen. Da ggf. nochmal im Heft oder hier nachschauen. Kommt aber wahrscheinlich in einer Kursarbeit nicht vor.


Keine Ahnung, wann eine mögliche Kursarbeit geschrieben werden kann. Aber hätten wir an dem normalen Termin geschrieben, wären das die folgenden Themen gewesen:
- Verständnis von Funktion und Ableitungen
- Kurvendiskussion (beinhaltet ja alle behandelten Themen: Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Extrem- und Wendepunkte)
- Tangenten/Wendetangenten
- Polynomdivision