Mathe Klasse 9b

Update 22.05. : für die Woche ab dem 25.5.

Liebe Schüler,
die Arbeitsmoral war in den letzten Wochen nicht bei allen optimal. Daher bekommt ihr die aktuellen Aufgaben für die Woche von mir per Email. Ihr findet hier in der tabellarischen Übersicht aber zu JEDEM Thema ein Video. Bitte nehmt euch wirklich die Zeit das Thema zu verstehen. Es wäre schade, wenn euch die Lücken dann in Klasse 10 auf die Füße fallen.

Bitte die Lösungen wieder bis nächste Woche Sonntag (31. Mai) per Mail an mich. Dann kann ich euch wieder Feedback geben. Bei Fragen auch gerne melden.

Aufgabentyp Erklärvideo
Die einzelnen Darstellungsformen und ihre Vorteile
1. Normalform: Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen Video
2. Scheitelpunktform: Scheitelpunkt angeben Video
3. Faktorisierte Form: Nullstellen angeben Video
Umformungen der einzelnen Formen ineinander Schlaues Blatt
Beispiele
4. Normalform -> Faktorisierte Form (PQ-Formel) Video
5. Normalform -> Scheitelpunktform (Quadratische Ergänzung) Video
6. Scheitelpunktform -> Normalform (Ausmultiplizieren) Video
7. Scheitelpunktform -> Faktorisierte Form (Nullstellen berechnen) Video
8. Faktorisierte Form -> Normalform (Ausmultiplizieren) Video
9. Faktorisierte Form -> Scheitelpunktform (Mitte suchen) Video
Übungsmaterial (Excel-Klapptest)
Nullstellen quadratischer Funktionen Video
10. ABC-Formel Video
Übungsmaterial (Excel-Klapptest)



Update 15.05. : für die Woche ab dem 18.5.

Liebe Schüler,
ihr habt jetzt schon ganz viele Nullstellen von Funktionen berechnet. Und das unabhängig davon, in welcher Form die quadratische Funktion vorlag.
Das einzige, was wir bisher nicht beachtet haben, war den Vorfaktor a. Den hatten wir bisher weggelassen.
Es stellt sich also die Frage, wie wir die Nullstellen von f(x) = 2x² -12x + 10 finden.
Das geht mit einer kleinen Termumformung und der PQ-Formel oder mit der ABC-Formel. Die ist neu, aber ihr findet sie im folgenden Video, in dem nochmal alle Strategien zur Nullstellensuche zusammengefasst werden. Oder als eigenes Video zur ABC-Formel. Es gibt auch hier und da ein paar Sonderfälle, in denen man nicht unbedingt die PQ-Formel anwenden würde - auch wenn es geht.

Aufgabe: Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen:
a) f(x) = 4x² - 24x    
b) f(x) = 2x² - 32
c) f(x) = 3x² + 30x + 75
d) f(x) = 2x² - 18x + 36



Update 11.05. : für die Woche ab dem 11.5.

Liebe Schüler,
in der letzten Woche wollte ich mich entspannt an einem Nachmittag hinsetzen, um Eure Ergebnisse zu kontrollieren und Feedback zu schicken, aber ich habe am Ende ganze 2 (!) Antworten gehabt. Daher erwarte ich diese Woche von jedem entweder die Ergebnisse der Aufgaben 1 + 2 (a-f) oder ein schriftliches Feedback, wo noch Probleme bestehen und was noch nicht verstanden ist (muellers @ burg - kl . de). Ich habe sonst kein Gefühl, in welcher Geschwindigkeit wir weitermachen können. Vor allem ist das Thema eines der wichtigsten in der Mittelstufe im Hinblick auf die nächsten Jahre im Matheunterricht.

Aufgabe 1:
a) Gib den Scheitelpunkt an:
f(x) = (x-3)² + 4        g(x) = (x+1)² - 3     h(x) = (x-4)² - 2
b) Gib die Nullstellen an:
f(x) = (x-3)(x-4)        g(x) = (x+1)(x-2)     h(x) = (x-4)(x+1)
c) Gib den Schnittpunkt mit der y-Achse an: 
f(x) = x² + 2x + 3        g(x) = x² - 4x -1     h(x) = x² - 6x + 5


Aufgabe 2:
Wandle mit dem gelernten Verfahren in die jeweilige Form um:
a) Faktorisierte Form f(x) = (x+3)(x+4) in Normalform
b) Faktorisierte Form f(x) = (x-6)(x+2) in Scheitelpunktform
c) Normalform f(x) = x² + 2x - 15 in Faktorisierte Form
d) Normalform f(x) = x² + 6x + 8 in Scheitelpunktform
e) Scheitelpunktform f(x) = (x+5)² + 4 in Normalform
f) Scheitelpunktform f(x) = (x-3)² - 4 in Faktorisierte Form
g) Faktorisierte Form f(x) = (x-2)(x-3) in Normalform
h) Faktorisierte Form f(x) = (x-6)(x+3) in Scheitelpunktform
i) Normalform f(x) = x² + 7x + 10 in Faktorisierte Form
j) Normalform f(x) = x² - 5x + 6 in Scheitelpunktform
k) Scheitelpunktform f(x) = (x-3)² - 4 in Normalform
l) Scheitelpunktform f(x) = (x-4)² - 1 in Faktorisierte Form



Update 01.05. : für die Woche ab dem 4.5.

Liebe Schüler,
als erstes habe ich euch bei den Aufgaben der letzten Woche die Lösungen dazu geschrieben. Ich hoffe ihr hattet keine Probleme mit den Aufgaben.

Wir haben jetzt drei Darstellungsformen mit ihren Vorteilen, die ihr hier nochmal seht.

Darstellungsformen
Von den Umformungen hatten wir jetzt 4 Stück. Tendentiell würde das auch ausreichen, denn wenn man z.B. von der Normalform zur Faktorisierten Form kommen will, dann kann man ja den Umweg über die Scheitelpunktform nehmen.
Trotzdem wollen wir heute diese Umformung anschauen.

Aufgabe:
- Schaue das folgende Video an, indem die Herleitung der PQ-Formel erklärt wird
- Schaue das folgende Video an, indem die Anwendung der PQ-Formel erklärt wird
- Und hier ist noch ein Video zur PQ-Formel-Anwendung incl. Merkhilfe
- Lerne die PQ-Formel auswendig !!!
- Bestimme mit Hilfe der PQ-Formel die Nullstellen und die faktorisierte Form. Wenn möglich, die Lösung gerne per Mail an mich (muellers @ burg - kl . de) . Dann habe ich mal Rückmeldung wie es läuft.

a) f(x) = x² + 9x + 18 -> p=9, q=18 -> Nullstellen x1=___, x2= ____ -> f(x) = (x____) (x____) ,
b) f(x) = x² + 10x + 25
c) f(x) = x² - 1x - 12
d) f(x) = x² + 2x - 8
e) f(x) = x² + x - 6

Aufgabe:
Jetzt fehlt nur noch eine Umformung. Von der Faktorisierten Form in die Scheitelpunktform. Das geht auch relativ fix. Auch dafür gibt es ein Video.

Aufgabe:
Jetzt habt ihr alle Umformungen. Im Schlauen Blatt sind alle auch noch mal in der Übersicht dargestellt. Das Blatt am besten Ausdrucken und ins Matheheft kleben.

Aufgabe:
Jetzt könnt ihr nochmal alle Verfahren mit Hilfe des Klapptests hier üben. Lösung nach hinten falten, Aufgabe bearbeiten und Lösung vergleichen.






Update 24.4. : für die Woche ab dem 27.4.

Liebe Schüler,
bisher haben wir bei quadratischen Funktionen zwei Darstellungsformen kennengelernt. Die Normalform und die Scheitelpunktform. Aber wie heißt es so schön: Aller guten Dinge sind drei. Deshalb heute: Die Faktorisierte Form.
Die schauen wir uns jetzt an und wiederholen die alten Dinge.

1. Wdh.: Du weißt wie die Normalform aussieht
2. Wdh.: Du weißt wie die Scheitelpunktform aussieht.
3. Neu: Hier im Video lernst du, was die Faktorisierte Form ist.

Wir haben somit drei Darstellungsformen mit verschiedenen Vorteilen. Diese werden euch am Anfang des folgenden Videos auch nochmal erläutert.  NUR BIS MINUTE 3.

Da jede Form einen Vorteil bietet, ist es sinnvoll jede Form in jede andere umformen zu können.
Das sind schonmal die vier Umformungen, die ihr hinbekommen sollt. Die anderen beiden folgen in den nächsten Wochen.

Ausgabe:
1. Schreibe die Scheitelpunktform in Normalform und gib den Scheitelpunkt an:
a) f(x) = (x-2)² + 5
-> x² -4x + 9, SP (2|5)		 b) f(x) = (x+3)² + 1
-> x² +6x + 10, SP (-3|1)		 c) f(x) = (x-1)² - 3
-> x² -2x - 2, SP (1|-3)		 d) f(x) = (x-3)² + 5
-> x² -6x + 14, SP (3|5)

2. Schreibe die Normalform in Scheitelpunktform und gib den Schnittpunkt mit der y-Achse an:
a) f(x) = x² - 7x + 12
-> (x-3,5)²-0,25, Sy (0|12)		 b) f(x) = x² - 2x - 8
-> (x-1)²-9, Sy (0|-8)		 c) f(x) = x² + x - 6
-> (x+0,5)²-6,25, Sy (0|-6)		 d) f(x) = x² + 5x + 6
-> (x+2,5)²-0,25, Sy (0|6)

3. Schreibe die Faktorisierte Form in Normalform und gib die Nullstellen an:
a) f(x) = (x-2)(x+1)
-> x² -x - 2, x1=2, x2=-1		 b) f(x) = (x-3)(x-4)
-> x² -7x + 12, x1=3, x2=4		 c) f(x) = (x+2)(x+5)
-> x² +7x + 10, x1=-2, x2=-5		 d) f(x) = (x-2)(x-3)
-> x² -5x + 6, x1=2, x2=3

4. Schreibe die Scheitelpunktform in Faktorisierte Form und gib den Scheitelpunkt an:
a) f(x) = (x+3)²-1
-> (x+2)(x+4), SP (-3|-1)		 b) f(x) = (x-4)²-9
-> (x-1)(x-7), SP (4|-9)		 c) f(x) = (x-5)²-4
-> (x-3)(x-7), SP (5|-4)		 d) f(x) = (x-3)²-9
-> (x+0)(x-6), SP (3|-9)

Wenn du die Aufgaben kannst und die drei Darstellungsformen kennst, dann ist das super. Bei Fragen gerne Bescheid geben.








Liebe Schüler,
hier die Unterrichtsmaterialien für die nächsten Wochen. Die Materialien können in den nächsten Tagen/Wochen ergänzt werden.
Update 21.3. : Jetzt auch Stoff zu quadratischen Funktionen
Update 28.3. : Hier ein Arbeitsblatt für Woche 3.
Update 19.4. : Hier ein Arbeitsblatt für die Woche ab dem 20.4.




Bevor es an die quadratischen Funktionen geht, sollt ihr ein wenig Wiederholung betreiben von Dingen, die auch in Zukunft im Matheunterricht hilfreich sind.

1. Wiederholung: Lineare Gleichungssysteme

Kannst du noch das Gleichsetzungsverfahren? -> Hier gibt es das Video
Kannst du noch das Additionsverfahren? -> Hier gibt es das Video
Und hier gibt es nochmal die Erklärung der Verfahren 

Beispiel 1: Gleichsetzungsverfahren
y = 3x + 9
y = 5x + 17

3x + 9 = 5x + 17 | - 3x
9 = 2x + 17 | - 17
-8 = 2x  | : 2
-4 = x
Einsetzen in 1. Gleichung
y = 3 · (-4) + 9 = -3
L = { (-4|-3) }

Beispiel 2: Einsetzungsverfahren
5y -15x = -10
y = -2x + 3

5 · (-2x + 3) -15x = -10 | T
-10x + 15 -15x = -10 | T
-25x + 15  = -10 | -15
-25x = -25 | :(-25)
x = 1
Einsetzen in 2. Gleichung
y = -2 · 1 + 3 = 1
L = { (1|1) }

Beispiel 3: Additionsverfahren
12x -4y = 52
20x + 4y = 76

I + II:      32x = 128 | : 32
x = 4
Einsetzen in 1. Gleichung
12 · 4 -4y = 52 | T
48 -4y = 52 | -48
-4y = 4 | : (-4)
y = -1
L = { (4|-1) }

Beispiel 4: Additionsverfahren

-2x -5y = -28
-4x -3y = -28

-2x -5y = -28 | · (-2)
-4x -3y = -28 | · 1
4x + 10y = 56 1. und 2. Gl.
-4x -3y = -28 addieren
7y = 28 | : 7
y = 4
In 1. Gleichung einsetzen:
-2x -5·4 = -28 |T
-2x -20 = -28 | +20
-2x = -8 | :(-2)
x = 4
L = { (4|4) }


Aufgabe 1:
Löse die folgenden Gleichungssysteme
y = 3x + 11
y = -2x -14
-5y + 25x = 65
y = -1x -1
5x -5y = 35
25x + 5y = 115
y = -5x -7
y = 1x + 5
3y -9x = -21
y = -5x + 17
-16x -4y = -8
-8x + 4y = -16


2. Einführung in die quadratischen Funktionen

2.1. Quadratische Funktionen

Auf dem folgenden Bild siehst du einen Raketenstart. Die Flugbahn, die man erkennt ist keine Gerade, sondern gebogen.

Raketenstart 

Bisher hatten wir solche Funktionen noch nicht im Mathematikunterricht kennengelernt, denn bei proportionalen oder linearen Funktionen handelte es sich beides Mal um Geraden.
Ob Flugkurven oder Torbögen. Diese Kurven begegnen uns in der Natur immer wieder. Daher beschäftigen wir uns jetzt mit ihnen.

Aufgabe 1: Wenn es noch nicht im Heft steht, dann dorthin übernehmen.

Quadratische Funktionen

Die Flugbahnen z.B.  beim Kugelstoßen oder Werfen eines Balles sind Kurven. Diese lassen sich mit den bisherigen Funktionen (proportionale und lineare Funktion) nicht modellieren.

Definition:
Eine Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c (mit a ungleich 0) heißt quadratische Funktion. Mit ihrer Hilfe lassen sich Flugbahnen modellieren.      

Hinweis:
Wir beschränken uns zuerst auf rein quadratische Funktionen der Form f(x) = ax²
(also kein Term mit x)

Graph einer quadratischen Funktion:
Ein Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
Der Graph von f(x) = x² heißt Normalparabel. (d.h. rein quadratische Funktion mit a=1). 

Aufgabe 2: Wir wissen jetzt, dass sich eine quadratische Funktion als f(x) = ax² + bx + c schreiben lässt. Zeige, dass es sich bei den folgenden Funktionen um quadratische Funktionen handelt, indem du sie ggf. in die entsprechende Form umformst. Gib an, für was die Parameter a, b und c in diesem Fall stehen.
Hinweis: Wenn du die Aufgabe markierst, siehst du in weiß auf weiß die Lösung.
Beispiel: f(x) = (x+1)² = (x+1)(x+1) = x² + 2x + 1   -> a = 1, b = 2, c = 1
a) f(x) = 2x² - 4x + 4    -> a = 2, b = -4 , c = 4
b) f(x) = (x+2)(x+3) = x² + 5x + 6 -> a = 1, b = 5, c = 6
c) f(x) = (x+1)(x-1) = x² - 1 -> a = 1, b = 0, c = -1
d) f(x) = (x+3)² = x² + 6x + 9 -> a = 1, b = 6, c = 9
e) f(x) = (x-5)² = x² - 10x + 25 -> a = 1, b = -10, x = 25
f) f(x) = (x-3)(x+3) = x² - 9 -> a = 1, b = 0, c = -9
g)* f(x) = (2x +3)² = 4x² + 12x + 9 -> a = 4, b = 12, c = 9
h)* f(x) = (2x + 4)(3x - 2) = 6x² - 4x + 12x - 8 = 6x² + 8x - 8 -> a = 6, b = 8, c = -8
 
Hinweis: Wenn du das Ausmultiplizieren von Summen mit Summen und die Binomischen Formeln noch nicht gut genug beherrschst, dann gibt es hier das Schlaue Blatt und Übungsmaterial als Excel-Klapptest. Diese Grundlagen sind extrem wichtig, weil das in diversen späteren Aufgaben immer wieder vorausgesetzt wird.

2.2. Die Normalparabel

Ziel ist es in diesem Kapitel einen Überblick über das Aussehen und die Lage der Normalparabel zu bekommen.

Aufgabe 1: Normalparabel zeichnen
Lege für die Funktion f(x) = x² eine Wertetabelle für die x-Werte -4, -3.5, -3, ... 3, 3.5, 4 an.
x -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
f(x)
 Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem. Jetzt weißt du wie die Normalparabel aussieht. :)

Aufgabe 2: Punkte auf der Normalparabel überprüfen.
Jetzt geht es darum auch rechnerisch zu überprüfen, ob ein Punkt auf der Parabel liegt oder wie die fehlende x- oder y-Koordinate eines Punktes aussieht.
1. Die Punkte liegen auf der Normalparabel. Bestimme die fehlenden Werte.
a) A (-2,1|___), B (-0,3|___), C (1,4|___)
b) A (___|81), B (___|1,44), C (___|196)
2. Überprüfe, ob die folgenden Punkte auf der Parabel liegen.
A (0,4|0,8), B (0,2|0,4), C (-2|-4)

2.2. Die rein quadratische Funktion

Von der Normalparabel f(x) = x² verallgemeinern wir jetzt ein wenig und beschäftigen uns mit einer rein quadratischen Funktion f(x) = ax²    (also alles noch ohne + bx + c).
Ziel ist es in diesem Kapitel zu sehen, was dieser Faktor a bewirkt. 

Aufgabe 1: Die Funktion f(x) = ax²
Untersucht die Auswirkung des Faktors a auf den Verlauf des Graphen. Das kannst du entweder machen, indem du jeweils eine Wertetabelle anlegst und die Funktionen ins gleiche Koordinatensystem zeichnest. Du kannst es natürlich auch mit Hilfe von Geogebra machen. Das Programm kann man sich kostenlos herunterladen oder auch online benutzen. So sieht das Ganze aus.
Geogebra
Lasse dir die folgenden Funktionen anzeigen und formuliere ein Ergebnis:
a) f(x) = x², g(x) = 2x² , h(x) = 0.5x², i(x) = -x², j(x) = -3x², k(x) = 1.5x², l(x) = -0.2x², m(x) = -2x²
Probiere ggf. weitere Werte für a aus.

Ergebnis: (ins Heft übernehmen)
Für a = 1 handelt es sich um die Normalparabel
Für ____________ ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel __________________________________
Für ____________ ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel __________________________________
Man bezeichnet a auch als Streckfaktor.
Für a _______ ist die Parabel nach _______________ geöffnet und besitzt einen Hochpunkt
Für a _______ ist die Parabel nach _______________ geöffnet und besitzt einen Tiefpunkt
Der Hoch- oder Tiefpunkt einer Parabel heißt Scheitelpunkt. 

Aufgabe 2: Punkte auf dem Graph von f(x) = ax²
Ein paar Aufgaben zum Rechnen:
a) Überprüfe, ob die folgenden Punkte auf dem Graph der Funktion f(x) = 5x² liegen: A(1|5), B(2|10), C(3|9)
b) Der Graph einer Funktion f(x) = ax² geht durch den Punkt (1|3). Bestimme den Wert für a.
Hinweis bei Problemen (zum Lesen markieren): In der Gleichung f(x) = ax² für x die x-Stelle des Punktes, also die 1 einsetzen. Für f(x) den Funktionswert des Punktes, also 3 einsetzen. Jetzt die Gleichung nach a auflösen.
c) Der Graph einer Funktion f(x) = ax² geht durch den Punkt (3|81). Bestimme den Wert für a.
d) Der Graph einer Funktion f(x) = ax² geht durch den Punkt (4|2). Bestimme den Wert für a.
e) Die folgenden Punkte sollen auf dem Graph der Funktion 2x² liegen. Bestimme die fehlenden Werte.
A (2|____), B (-1|____), C (____|50) , D (____|8)