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Mathe Klasse 10a

-- Woche vom 8.5. bzw. 15.5. --

Für die Gruppe, die in dieser Woche nicht in der Schule ist. Ziel ist es sich wieder mit quadratischen Funktionen vertraut zu machen. Du findest hier bzw. unter SiW - Klasse 9 eine Übersicht über die drei Darstellungsformen und die Umrechnung ineinander. Einfach die beiden Lernhilfen nochmal anschauen.

Aufgabe: Versucht die fogende Lernkontrolle zu lösen.

Klassenstufe 9 - Quadratische Funktionen und Gleichungen
Die quadratische Funktion - Darstellungsformen
		Quadratische Funktionen
Die Normalform
		Quadratische Funktionen: Die Normalform
Die Scheitelpunktform
		Quadratische Funktionen: Die Scheitelpunktform
		Excel-Vorlage: Quadratische Funktionen -Auswirkungen der einzelnen Werte auf den Funktionsgraph
Die Faktorisierte Form
		Quadratische Funktionen: Die Faktorisierte Form
Umrechnungen der Darstellungsformen ineinander
		Die Darstellungsformen der quadratischen Funktionen (Normalform, Scheitelpunktform, Faktorisierte Form) mit ihren Vorteilen und deren Umrechnung in eine andere Form
		Quadratische Funktionen: Umformungen Scheitelpunkt-, Normal- und faktorisierte Form
		Quadratische Funktionen: Umformungen Scheitelpunkt-, Normal- und faktorisierte Form (Nur bei Excel: F9 ergibt neue Aufgaben)
Scheitelpunktform -> Normalform
		Von der Scheitelpunktform zur Normalform
Normalform -> Scheitelpunktform
		Von der Normalform zur Scheitelpunktform
		Die quadratische Ergänzung
Faktorisierte Form -> Normalform
		Von der Faktorisierten Form zur Normalform
Normalform -> Faktorisierte Form
		Von der Normalform zur Faktorisierten Form
		Die PQ-Formel herleiten
		Die PQ-Formel anwenden (incl. Merkhilfe)
		Die ABC-Formel: Voraussetzungen und Anwendung
Scheitelpunktform -> Faktorisierte Form
		Von der Scheitelpunktform zur Faktorisierten Form
Faktorisierte Form -> Scheitelpunktform
		Von der Faktorisierten Form zur Scheitelpunktform
Nullstellen quadratischer Funktionen
		Lösungsstrategien zur Lösungen von Gleichungen
		Nullstellen von quadratischen Funktionen in Normal- und Scheitelpuntform finden.
		Nullstellen quadratischer Funktionen incl. ABC- und PQ-Formel
		Die ABC-Formel: Voraussetzungen und Anwendung
		Berechnungen von Nullstellen von quadratischen Funktionen (Nur bei Excel: F9 ergibt neue Aufgaben)
		Berechnungen von Nullstellen von quadratischen Funktionen (mit PQ-Formel) (Nur bei Excel: F9 ergibt neue Aufgaben)

-- Woche vom 11.5. --

Für die Gruppe, die in dieser Woche nicht in der Schule ist. Ziel ist es die Potenz- und Wurzelgesetze zu wiederholen und ein paar Aufgaben zur Festigung zu rechnen.

Das Video zu den Gesetzen gibt es hier.
Das Schlaue Blatt gibt es hier.

Aufgabe 1:

Buch S. 19, Nr. 7+8 oder direkt hier:
Potenzen

Potenzen

-- Woche vom 27.4. --

Da noch keiner die Aufgabe 3 aus der letzten Woche abgegeben hat, bin ich mir nicht sicher, wie weit ihr seid. Ihr solltet euch das Video von letzter Woche angeschaut haben (oder zumindest das Schlaue Blatt), wenn ihr die folgenden Aufgaben lösen wollt. Das ist dann die Übung und Vertiefung und sollte der Schwerpunkt dieser Woche sein.

Aufgabe 1:

-> Aufgabe 3 von letzter Woche lösen.

Aufgabe 2:

-> hier ist ein Arbeitsblatt. Lösungen per Mail an muellers @ burg - kl . de

-- Woche vom 20.4. --

Trigonometrische Funktionen

Wir haben im Unterricht festgestellt, dass es viele periodische Vorgänge in der Natur gibt.

Beispiele für periodische Funktionen:
Gezeiten, Lichtwellen, Schallwellen, Sonnenstand, ...

Hier kann man mal den Sonnenstand über mehrere Stunden in einem Foto ansehen. So was kommt später nochmal in einer Aufgabe vor.

Um die Sinusfunktion zu beschreiben, haben wir ein paar Begriffe gelernt. Außerdem haben wir uns den Verlauf der Sinusfunktion schon mal angeschaut. Aber das steht auch schon in euerm Heft.

Sinusfunktion

Einige besondere Funktionswerte haben wir dabei schon mal notiert, sin(0°) = 0, sin (30°) = 0,5, ...

Anschließend haben wir uns daran gestört, dass unsere Sinusfunktion ja eine Abbildung von einem Winkel auf eine reelle Zahl ist. Schöner wäre eine Abbildung einer reellen auf eine reelle Zahl, wie wir es ja sonst von unseren Funktionen gewöhnt sind.

Das Bogenmaß:

Sinusfunktion

Für den ganzen Kreis kennen wir den Winkel (=360°) und die Bogenlänge (2 π r). Im Fall des Einheitskreises ist die Bogenlänge 2 π.
Für einen Winkel Alpha gilt:

360° = 2 π
1° = 2 π : 360°
α = 2 Pi : 360° ∙ α

Die Größe eines Winkels kann entweder im Gradmaß oder im Bogenmaß x angegeben werden. Das Bogenmaß x kann als Bogenlänge im Einheitskreis gedeutet werden.
Es gilt: x/2π = α/(360°)
bzw. x=2π∙α/(360°) und α=x/2π∙360°

Achtung: Um mit dem Taschenrechner Sinus-Werte auszurechnen ist es wichtig, dem Taschenrechner zu sagen, ob er den Wert eines Winkels im Grad- oder im Bogenmaß berechnen muss. Dazu ist der Taschenrechner etweder auf D (für Degree - also Gradmaß) oder auf R (wie Radian - Bogenmaß) zu stellen.

So. Wiederholung abgeschlossen. Schauen wir uns was Neues an.

Ziel: Ihr solltet den Verlauf der Sinus- und Kosinusfunktion kennen. Dazu sollte man nicht nur die Periodenlänge kennen, sondern auch die Stellen, an denen die Funktion 1, 0 oder -1 wird. Um weitere Stellen oder Funktionswerte zu finden ist es auch sinnvoll das Symmetrieverhalten zu kennen.

Aufgabe 1: Notiere dir für die Sinus- und Kosinusfunktion die folgenden Dinge:
- Nullstellen im Intervall [0;2π]
- Maxima (f(x) = 1) im Intervall [0;2π]
- Minima (f(x) = -1) im Intervall [0;2π]
- Periodenlänge
- Symmetrien (Punkt- und Achsensymmetrien) im Intervall [0;2π]
Im Buch auf S. 136 findest du die Ergebnisse.

Aufgabe 2: Arbeitsheft S. 45 Nr. 5.

Das reicht auch schon für diesen Teil. Jetzt kommt das Spannende. Wenn eine Sinusfunktion immer nur zwischen -1 und 1 schwingt, kann man mit ihr ja gar kein Ebbe und Flut modellieren, wenn der Wasserstand z.B. um 4 Meter schwankt. Die Sinusfunktion muss also zur Beschreibung von Vorgängen in der Natur verschoben und gestreckt werden. Das Ganze haben wir auch schon bei den quadratischen Funktionen in Klasse 9 gemacht. Vielleicht könnt ihr euch noch dran erinnern.

Ziel: Wir wollen den Einfluss der Parameter der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin (bx - c) + d verstehen.
Das könnt ihr auf die folgende Art und Weise machen:
- ihr lest im Buch die Seiten 140-142 durch
- ihr schaut das von mir für euch gedrehte Video
- ihr schaut einfach auf die Ergebnisse der Zusammenfassung auf dem schlauen Blatt.

Aufgabe 3: Ihr sollt hier den Sonnenstand mit Hilfe einer Sinusfunktion modellieren. Verändert die Werte a, b, c und d mit Hilfe des Schiebereglers bis eure Funktion durch die jeweiligen Sonnen geht. Eure Werte (a-d), die sich natürlich von Schüler zu Schüler ein wenig unterscheiden werden, sollt ihr mir dann schicken (muellers @ burg - kl . de).

Vielleicht noch ein wenig Aufgaben aus dem Buch zur Festigung.

Aufgabe 4: Buch S. 143 Nr. 2

Aufgabe 5: Buch S. 143 Nr. 3

Das soll es hier erst einmal gewesen sein. Für die nächste Woche erstelle ich noch weitere Aufgaben, in denen ihr aus einer gegebenen Sinusfunktion die Funktionsgleichung ablesen sollt.

-- vor den Osterferien --

Liebe Schüler,
die Sinusfunktion und deren Eigenschaften würde ich derzeit zurückstellen und dann bearbeiten, wenn wir uns wieder sehen. In Absprache mit den anderen Mathelehrern der 10. Klassen haben wir beschlossen das Thema "Pyramide, Kegel und Kugel" zur Bearbeitung zu nutzen. Es ist mathematisch nicht schwer und kann somit gut in Eigenregie erarbeitet werden.

Der Stoff sollte bis zu den Osterferien reichen.

24.03. Update: Unten noch die Kugeln ergänzt.

1. Pyramide, Kegel und Kugel

1.1. Wiederholung: Prisma und Zylinder.

Aufgabe 1: Wiederhole die Berechnung von Flächen, Oberflächen und Volumen von einfachen Flächen und Körpern. Das passende Lernblatt gibt es hier.

Freiwillig:
Du kannst das Berechnen von Prisma und Zylinder nochmal üben.
Entweder hier oder sogar variabel als Excel-Version.

Das neue Kapitel zur Berechnung von Pyramiden und Kegeln ist eigentlich gar nicht so schwer und man kann es sich super selbst erarbeiten.

1.2. Satz von Cavalieri

Aufgabe 2: Übernimm den Satz von Cavalieri (S. 97 oben) in dein Heft und versuche ihn zu verstehen.

Wenn man also schiefe Körper hat, stört uns das gar nicht. Das ganze sieht ggf. komplizierter aus, aber durch den Satz von Cavalieri wissen wir nun, dass uns nur die Grundfläche und die Höhe von Kegel/Prisma interessieren müssen. Die Berechnung geht also wie in Klasse 8. Und das hast du ja oben im Lernblatt wiederholt. D.h. zur Überprüfung kann man direkt mal an eine Aufgaben gehen.

Aufgabe 3: S. 97/2

Aufgabe 4: D.h. das Volumen eines Körpers hängt von gar nicht so vielen Faktoren ab. Vielleicht gelingt es dir auch herauszufinden, welche Körper in Aufgabe S. 98/8 jeweils gleich groß sind.
Lösung: 1+6, 2+7, 3+5, 4

Alle Spitzkörper (Kegel, Pyramide) haben bei gleicher Höhe und gleicher Grundfläche somit das gleiche Volumen. Aber in welchem Verhältnis steht das Volumen zum entsprechenden Zylinder bzw. Prisma?

1.3. Pyramide und Kegel

Im Buch gibt es zwei getrennte Kapitel für Pyramide und Kegel, aber das ist gar nicht nötig. Du kannst dir gerne auf S. 99 oben anschauen wie viele Pyramiden in das passende Prisma passen (wir haben das Modell hier im Matheschrank, aber ich kann es euch jetzt leider nicht zeigen). Am Ende bleibt für Pyramide und Kegel festzuhalten:

Für das Volumen einer Pyramide oder eines Kegels mit Grundfläche G und Höhe h gilt:
V = 1/3 G h.
Der entsprechende Spitzkörper hat jeweils ein Drittel der Volumens vom entsprechenden normalen Körper aus Klasse 8 (Prisma, Zylinder)

Aufgabe 5: Diesen wichtigen Zusammenhang ins Heft notieren.

Mit diesem einfachen Zusammenhang können wir uns jetzt an ein paar Berechnungen machen.

Aufgabe 6: S. 100/1

Aufgabe 7: Jetzt wird es etwas schwieriger. Es kann also sein, dass du mal wieder den Satz des Pythagoras brauchen könntest und in den Aufgaben nach rechtwinkligen Dreiecken Ausschau halten solltest. Aber dann schaffst du auch S. 100/2 (Du darfst dir gerne 3 aus 6 Unteraufgaben auswählen)

Wenn du die letzte Aufgabe geschafft hast und auch S. 100/5 kannst, dann sind Pyramiden kein Problem mehr und wir können zu den Kegeln wechseln.

Wer Profi ist, kann aber gerne auf S. 101 noch in den Aufgaben stöbern.

Jetzt aber zum Kegel. Das Volumen mit 1/3 G h haben wir schon kennengelernt.

Spannend wird aber hier noch die Mantelfläche. Um die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Größen s, b, r und h zu verstehen, kann es sinnvoll sein sich selbst mal ein Kreismantel auszuschneiden und daraus einen Kegel zu formen. Den kannst du dann als lustigen Hut bei den weiteren Aufgaben auf den Kopf setzen. Sieht dich ja keiner der Mitschüler ;) Sind ja alle zu Hause.

Aufgabe 8: Übernimm die Begriffe (S. 102 oben) und die Formeln für den Kegel (S. 102 Mitte) ins Heft.

Auch hier geht es darum die Formeln zu festigen und anzuwenden, um ein besseres Verständnis und mehr Sicherheit im Rechnen zu gelangen. Also ran an die Aufgaben.

Aufgabe 9: S. 103/2 + 103/3 + 103/4 sind typische Aufgaben im Hinblick auf eine Mathearbeit. Du musst nicht alle rechnen, aber ein paar, bis du dich sicher fühlst, wären sinnvoll.

Freiwillig: So jetzt haben wir die normalen Aufgaben zu Pyramide und Prisma. Kann man das noch schwerer machen? Nicht wirklich, aber man könnte z.B. Körper aus den bisher behandelten Figuren zusammensetzen. Wie das aussieht, siehst du in Aufgabe S. 104/8. Die brauchst du nicht durchrechnen, aber du kannst dir ja überlegen wie es geht.

Freiwillig: Kapitel abgeschlossen. Das ist ein Grund zu feiern. Da könnte man doch drauf anstoßen. Am besten mit einem Getränk in einem Cocktailglas. Sehr schön ist nämlich die Aufgabe S. 104/9.
Wer diese machen will, kann seine Lösung anschließend gerne abfotografieren und mir per Email schicken. Dann hab ich was, worauf ich mich freuen kann.
(Hinweis: Ihr könnt die Auflösung eurer Handykamera runtersetzen. Ich brauche keine Fotos mit 20 Megapixeln und 8MB).

1.4. Kugel

Auf S. 105 könnt ihr euch über eine Herleitung der Formeln für die Oberfläche und das Volumen einer Kugel informieren - oder ihr gebt euch einfach mit der fertigen Formel zufrieden.

Aufgabe 10: Übernimm die Formeln für die Oberfläche und das Volumen einer Kugel von S. 106 in dein Heft.

So. Jetzt haben wir zwei neue Formeln und können sie anwenden. Sollte auch nicht schwer sein.

Aufgabe 11: S. 106/1 a-d

Und vielleicht noch zwei Textaufgabe hinterher. Aber erst mal die Lösungen schätzen, bevor du sie ausrechnest. Warst du nah dran?

Aufgabe 12: S. 106/4

Aufgabe 13: S. 107/11

Gut eine weitere interessante Aufgabe zum Abschluss.

Aufgabe 14: S. 108/18

So. Jetzt haben wir das Thema durch. Tendentiell geht es darum, die entsprechenden Formeln zu kennen und nach der gesuchten Größe umzuformen. Sollte machbar sein. Im späteren Leben hat man dann zwar die ein oder andere Formel vergessen, aber für so was gibt es Formelsammlungen oder das Internet. Und schwupps könnt ihr dann wieder alle Aufgaben lösen.